Cálculo Ejemplos

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica $1 + x y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Paso 1.4

Suma $y x$ y $x y$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Paso 1.4.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x y + 1 = - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y (1 + x y)$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y (1 + x y)$ por $M$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 1 - (2 x y + 1)$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Reordena $- 1$ y $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 x y + 2$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x y + 1$ y $1 + x y$ .

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Paso 4.3.3.1

Reordena los términos.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Paso 4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.4

Sustituye $y (1 + x y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y (1 + x y) d x - x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y (1 + x y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $1 + x y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $- x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{y^{2}}$ y $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Paso 8.2

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Paso 8.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 8.4

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 8.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Paso 8.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Paso 8.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.7.1

Reescribe $- x (- y^{- 1} + C)$ como $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 8.7.2

Simplifica.

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Paso 8.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Paso 8.7.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Paso 8.7.2.3

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.3.3

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{1 + x y}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.5

Resta $x y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.6.2

Divide $- x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

Paso 12.1.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$