Cálculo Ejemplos

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $\ln (x^{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Paso 1.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$