Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = y^{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 y^{3}, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 y^{3}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ por $3 y^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ por $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 y^{3}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = 3 t y^{3} + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = 3 t y^{3} + 3 K y^{3}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 t y^{3} + 3 K y^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 t y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (t + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $3 y^{3} (t + K) = - 1$ por $3 (t + K)$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $3 y^{3} (t + K) = - 1$ por $3 (t + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común de $t + K$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$ .

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Paso 3.3.5.1

Reescribe $- \frac{1}{3 (t + K)}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}$ .

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Paso 3.3.5.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Paso 3.3.5.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}})$

Paso 3.3.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (t + K)} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1 + 2}}$

Paso 3.3.5.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}}$

Paso 3.3.5.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}$ como $3 (t + K)$ .

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Paso 3.3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ como ${(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{({(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.3.5.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.3.5.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.5.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{1}}$

Paso 3.3.5.7.5.5

Simplifica.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.5.8.2

Aplica la regla del producto a $3 (t + K)$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

Paso 3.3.5.8.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$