Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Entonces $d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + \frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $\frac{π}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π}{12}$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3.6

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 2.3.9

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.9.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.9.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.10

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 2.3.12

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Paso 2.3.13

Simplifica.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Paso 2.3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Paso 2.3.15

Simplifica.

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Paso 2.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.3

Combina $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.4

Aplica la propiedad distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5

Simplifica.

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Paso 2.3.15.5.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.15.5.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.1.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.1.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ al numerador.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.2.3

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.2.4

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Paso 2.3.15.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $7$ por $s$ en $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ .

$7 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$ .

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Paso 4.2.1.1.3

Suma $0$ y $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 7$

Paso 4.2.1.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 7$

Paso 4.2.1.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 7$

Paso 4.2.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 7$

Paso 4.2.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 1 + K = 7 - \frac{π}{3}$

Paso 4.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 7 - \frac{π}{3} + 1$

Paso 4.3.3

Suma $7$ y $1$ .

$K = 8 - \frac{π}{3}$

Paso 5

Sustituye $8 - \frac{π}{3}$ por $K$ en $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $8 - \frac{π}{3}$ por $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Paso 5.2.2

Resta $π$ de $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Paso 5.3

Divide $0$ por $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Paso 5.4

Suma $4 t$ y $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$