Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Paso 1

Sea $v = e^{x - y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{x - y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Paso 5

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ por $- v$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ por $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.1.2

Factoriza $v$ de $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Paso 5.3.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Paso 6

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $v$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 8

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 9

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 9.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 9.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 9.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 10

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d v}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $v$ en la ecuación original $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 11

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 11.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 11.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 11.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.2

Factoriza $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5

Multiplica $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.2.1.5.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.6

Simplifica $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.8

Multiplica $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 11.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3.2

Multiplica $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.3.2.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Paso 11.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Paso 11.1.3.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Paso 11.1.3.3

Simplifica $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Paso 11.1.3.4

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 11.1.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Paso 11.1.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Paso 11.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 11.2.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 11.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 11.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 11.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 11.3.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Paso 11.3.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Paso 11.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Paso 11.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Paso 11.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Paso 11.7

Integra el lado derecho.

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Paso 11.7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Paso 11.7.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Paso 11.7.3

Simplifica.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Paso 11.8

Divide cada término en $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 11.8.1

Divide cada término en $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 11.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 11.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.3.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 11.8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 11.8.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 12

Sustituye $v^{- 1}$ por $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 14

Resuelve $y$

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Paso 14.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Paso 14.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Expande $\ln (e^{- x + y})$ ; para ello, mueve $- x + y$ fuera del logaritmo.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Paso 14.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Paso 14.2.3

Multiplica $- x + y$ por $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Paso 14.3

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$