Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $t$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Paso 1.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Paso 1.3

Sea $u_{1} = 3 t$ . Entonces $d u_{1} = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.3.1

Deja $u_{1} = 3 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 1.3.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Paso 1.4

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Paso 1.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Paso 1.6

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Paso 1.7

Sea $u_{2} = 3 t$ . Entonces $d u_{2} = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.7.1

Deja $u_{2} = 3 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.7.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.7.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 1.8

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Paso 1.9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 1.10

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Paso 1.11

Simplifica.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Paso 1.12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 1.12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Paso 1.12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Paso 1.13

Reordena los términos.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.2

Dado que $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- \frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.3

Sea $u_{3} = 3 t$ . Entonces $d u_{3} = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 3.3.3.1

Deja $u_{3} = 3 t$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 3.3.3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.3.3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.4

Combina $\cos (u_{3})$ y $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.7

La integral de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.9

Sea $u_{4} = 3 t$ . Entonces $d u_{4} = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Reescribe mediante $u_{4}$ y $d$ $u_{4}$ .

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Paso 3.3.9.1

Deja $u_{4} = 3 t$ . Obtén $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

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Paso 3.3.9.1.1

Diferencia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 3.3.9.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.3.9.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{4}$ y $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.10

Combina $\sin (u_{4})$ y $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.11

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{4}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.12

Simplifica.

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Paso 3.3.12.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.12.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.13

La integral de $\sin (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Paso 3.3.14

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Paso 3.3.15

Simplifica.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Paso 3.3.16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 3.3.16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Paso 3.3.16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Paso 3.3.17

Reordena los términos.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$