Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 x y + 8 x = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 8 x = 2 x y$

Paso 1.1.2

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y - 8 x$

Paso 1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x y - 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) - 8 x$

Paso 1.2.2

Factoriza $2 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 2 x (- 4)$

Paso 1.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (y) + 2 x (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y - 4)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 x (y - 4))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (x (y - 4))$

Paso 1.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (x (y - 4))$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y - 4$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $y - 4$ de $x (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) x)$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) x)$

Paso 1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y - 4$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y - 4 |)} = e^{x^{2} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y - 4 |) = x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y - 4 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y - 4 | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y - 4 | = e^{x^{2} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm e^{x^{2} + C}$

Paso 3.3.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{x^{2} + C} + 4$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C} + 4$

Paso 4.2

Reordena $e^{x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}} + 4$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x^{2}} + 4$