Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $e^{y - 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $e^{y - 1}$ de ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Paso 3.2.3

Multiplica $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

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Paso 3.3.1.1

Divide la fracción $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ en dos fracciones.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.2.1

Divide la fracción $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ en dos fracciones.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Paso 3.3.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ .

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

Paso 6.3

Para resolver $K$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

Paso 6.4

Reescribe $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

Paso 6.5

Resuelve $K$

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ .

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

Paso 6.5.2

Simplifica $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ .

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Paso 6.5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

Paso 6.5.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.5.2.3.1

Suma $3 K$ y $K$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3.3

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3.4

Factoriza $- 1$ de $4 K$ .

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (- 4 K)$ .

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

Paso 6.5.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

Paso 6.5.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

Paso 6.5.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 5$ .

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.5.1.1

Simplifica $- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ .

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Paso 6.5.5.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.5.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 - 4 K}{5}$ al numerador.

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.1.1.1.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.5.5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.1.1.2.2

Multiplica $5 - 4 K$ por $1$ .

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

Paso 6.5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.5.2.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$5 - 4 K = - 5$

Paso 6.5.6

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.5.6.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 K = - 5 - 5$

Paso 6.5.6.2

Resta $5$ de $- 5$ .

$- 4 K = - 10$

Paso 6.5.7

Divide cada término en $- 4 K = - 10$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 6.5.7.1

Divide cada término en $- 4 K = - 10$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Paso 6.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.7.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 6.5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Paso 6.5.7.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 10}{- 4}$

Paso 6.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.7.3.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $- 4$ .

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Paso 6.5.7.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 10$ .

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Paso 6.5.7.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.7.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Paso 6.5.7.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Paso 6.5.7.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$K = \frac{5}{2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{5}{2}$ por $K$ en $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\frac{5}{2}$ por $K$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $x$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $\frac{5 x}{2}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.2

Para escribir $- \frac{5}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{x + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.3.2

Reordena los factores de $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.6

Factoriza $5$ de $- 10 + 5 x$ .

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Paso 7.2.6.1

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.6.2

Factoriza $5$ de $5 \cdot - 2 + 5 x$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Paso 7.2.7

Para escribir $\frac{K}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Paso 7.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.8.1

Multiplica $\frac{K}{x + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

Paso 7.2.8.2

Reordena los factores de $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Paso 7.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Paso 7.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Paso 7.2.10.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Paso 7.2.10.3

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$