Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.1.2.4

Divide $6 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.7.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 (- x^{- 1} + C_{4})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) + 5 (- x^{- 1}) + C_{5}$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) - 5 x^{- 1} + C_{5}$

Paso 2.3.10

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C$