Cálculo Ejemplos

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $\sin (x) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

Paso 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ es una integral especial. La integral es la función integral de Fresnel.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

Paso 5.3

Simplifica.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

Paso 6

Divide cada término en $\sin (x) y = 5 S x + C$ por $\sin (x)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $\sin (x) y = 5 S x + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 6.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Paso 6.3.1.3

Divide $C$ por $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$