Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = 4 - 0.2 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 - 0.2 x}$ .

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $4 - 0.2 x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} d x = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 - 0.2 x} d x = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 4 - 0.2 x$ . Entonces $d u = - 0.2 d x$ , de modo que $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 4 - 0.2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 0.2}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 0.2$ por $1$ .

$- 0.2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 5}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{5}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- (5 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 0.2 x$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 4 - 0.2 x |)$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} + \frac{C}{- 5}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$

Paso 3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - 0.2 x |)} = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} = | 4 - 0.2 x |$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$ .

$| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Paso 3.4.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ por $- 0.2$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ por $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 0.2$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Simplifica $\frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2}$ .

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Multiplica por $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Factoriza $0.2$ de $0.2$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Separa las fracciones.

$x = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $1$ por $0.2$ .

$x = 5 \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $\pm e^{\frac{- t - C}{5}}$ por $1$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + \frac{- 4}{- 0.2}$

Paso 3.4.4.3.1.8

Divide $- 4$ por $- 0.2$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + 20$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t + C}{5}}) + 20$