Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{8 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{8 y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{8 y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{8 y}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 8}$

Paso 1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 8}$

Paso 1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{8}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = - \frac{x}{8} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x}{8} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{8} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{8} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int x d x)$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 8} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{16} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{16}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{16} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{16}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{16}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{16} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 (8)} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{- x^{2}}{8} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{8} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K \cdot \frac{8}{8}}$

Paso 3.4.2

Combina $2 K$ y $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 K \cdot 8}{8}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 2 K \cdot 8}{8}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{8}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\frac{- x^{2} + 16 K}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{2} + 16 K}{2}$ .

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Paso 3.4.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $- x^{2} + 16 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{8}}$

Paso 3.4.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$

Paso 3.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.8

Combinar.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.4.9

Multiplica $\sqrt{- x^{2} + 16 K}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.11.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 3.4.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 3.4.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 3.4.11.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.11.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.11.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.11.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.11.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.11.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.11.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 3.4.11.7.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.12

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.13

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.13.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.13.2

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{4}$