Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Paso 1.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (4 t + K)$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ por $t$ y de $1$ por $x$ en $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Paso 5.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $K$ del interior de la tangente.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Paso 5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$π + K = \arctan (1)$

Paso 5.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Paso 5.5

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.5.1

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{π}{4} - π$

Paso 5.5.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.5.3

Combina $- π$ y $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Paso 5.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Paso 5.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Paso 5.5.5.2

Resta $4 π$ de $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Paso 5.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Paso 5.6

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Paso 5.7

Resuelve $K$

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Paso 5.7.1

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.7.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.7.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.7.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 5.7.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 5.7.1.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Paso 5.7.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.7.2.1

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Paso 5.7.2.2

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.7.2.3

Combina $- π$ y $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Paso 5.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Paso 5.7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.2.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Paso 5.7.2.5.2

Resta $4 π$ de $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Paso 5.8

Obtén el período de $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

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Paso 5.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.8.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.9

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.9.1

Suma $π$ y $- \frac{3 π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Paso 5.9.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 5.9.3

Combina fracciones.

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Paso 5.9.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 5.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 5.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.9.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Paso 5.9.4.2

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 5.9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$K = \frac{π}{4}$

Paso 5.10

El período de la función $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.11

Consolida las respuestas.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Paso 6

Sustituye $\frac{π}{4} + π n$ por $K$ en $x = \tan (4 t + K)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $\frac{π}{4} + π n$ por $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$