Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$