Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = a x + b$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int a x + b d x}$

Paso 1.2

Integra $a x + b$ .

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Paso 1.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Paso 1.2.2

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Paso 1.2.4

Aplica la regla de la constante.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Paso 1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{a}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ por $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1.1

Para escribir $b x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Combina $b x$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Paso 7.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Paso 7.3.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.4.1

Factoriza $x$ de $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

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Paso 7.3.1.4.1.1

Factoriza $x$ de $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Paso 7.3.1.4.1.2

Factoriza $x$ de $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Paso 7.3.1.4.1.3

Factoriza $x$ de $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Paso 7.3.1.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$