Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Paso 2.3.6.3

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $4$ por $y$ en $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Paso 4.2.7

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Paso 4.2.8

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Paso 4.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Paso 4.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.10.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Paso 4.2.10.2

Suma $- 2$ y $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{7}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Paso 4.3.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 4.3.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Paso 4.3.5.2

Resta $7$ de $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Paso 5

Sustituye $\frac{5}{3}$ por $K$ en $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{5}{3}$ por $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$