Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.5

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $6$ por $y$ en $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Paso 4.2

Simplifica $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Paso 4.2.1.2

Divide $7$ por $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Paso 4.2.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

Paso 4.2.1.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $4$ por $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $- 3 - 7$ y $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

Paso 4.2.2.2

Resta $7$ de $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 6 + 10$

Paso 4.3.2

Suma $6$ y $10$ .

$C = 16$

Paso 5

Sustituye $16$ por $C$ en $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $16$ por $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

Paso 5.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$