Cálculo Ejemplos

$(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 15 x y^{2} - 12 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2} - 12 y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x y^{2} - 12 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $15 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $15 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $15 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 12 y$ con respecto a $y$ es $- 12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 10 x^{2} y - 6 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y - 6 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{2} y - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $10 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 x y - 6$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $30 x y - 12$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $20 x y - 6$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $30 x y - 12$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{30 x y - 12 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $20 x y - 6$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $10 x^{2} y - 6 x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $10 x^{2} y - 6 x$ por $N$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.4

Resta $20 x y$ de $30 x y$ .

$\frac{10 x y - 12 + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.5

Suma $- 12$ y $6$ .

$\frac{10 x y - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $2$ de $10 x y - 6$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $10 x y$ .

$\frac{2 (5 x y) - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 (5 x y) + 2 (- 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $2$ de $2 (5 x y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Paso 4.3.3

Factoriza $2 x$ de $10 x^{2} y - 6 x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $2 x$ de $10 x^{2} y$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) - 6 x}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) + 2 x (- 3)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (5 x y) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $5 x y - 3$ .

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Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$ por el factor integrador $x$ .

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Paso 6.1

Multiplica $15 x y^{2} - 12 y$ por $x$ .

$(15 x y^{2} - 12 y) x d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(15 x y^{2} x - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Mueve $x$ .

$(15 (x \cdot x) y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $10 x^{2} y - 6 x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) x d y = 0$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y x - 6 x \cdot x) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Mueve $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x \cdot x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Paso 6.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x^{1} x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Paso 6.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{1 + 2} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Paso 6.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1

Mueve $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 (x \cdot x)) d y = 0$

Paso 6.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x^{2}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - 12 y x d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - 12 y x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Paso 8.2

Dado que $15 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 12 y x d x$

Paso 8.4

Dado que $- 12 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 12 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y \int x d x$

Paso 8.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 8.6

Simplifica.

$f (x, y) = 15 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Combina $15$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{15}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.2

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

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Paso 8.7.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.7.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{5}{1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 8.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 8.7.4

Combina $- 12$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y \frac{- 12 x^{2}}{2} + C$

Paso 8.7.5

Combina $y$ y $\frac{- 12 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 12 x^{2})}{2} + C$

Paso 8.7.6

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 8.7.6.1

Factoriza $2$ de $y (- 12 x^{2})$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2} + C$

Paso 8.7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.7.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Paso 8.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Paso 8.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 6 x^{2})}{1} + C$

Paso 8.7.6.2.4

Divide $y (- 6 x^{2})$ por $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $5 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y^{2} x^{3}$ con respecto a $y$ es $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})]$ .

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Paso 11.4.1

Como $- 6 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y (- 6 x^{2})$ con respecto a $y$ es $- 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 11.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{2} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Suma $6 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2}$

Paso 12.1.2

Resta $10 x^{3} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$ .

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Paso 12.1.3.1

Suma $- 6 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y + 0 - 10 x^{3} y$

Paso 12.1.3.2

Suma $10 x^{3} y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 10 x^{3} y$

Paso 12.1.3.3

Resta $10 x^{3} y$ de $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Paso 15

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 6 y x^{2} + C$