Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$x d x = 9 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x d x = \int 9 d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (9 t + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $18 t + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Paso 4

Como $x$ es positiva en la condición inicial $(0, 9)$ , solo considera $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $t$ y $9$ por $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ como ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $9$ por $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Suma $0$ y $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica.

$2 K = 9^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$2 K = 81$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 K = 81$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 K = 81$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Paso 6

Sustituye $\frac{81}{2}$ por $K$ en $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $\frac{81}{2}$ por $K$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Paso 6.2

Factoriza $9$ de $9 t + \frac{81}{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $9$ de $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Paso 6.2.2

Factoriza $9$ de $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Paso 6.2.3

Factoriza $9$ de $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Paso 6.4

Para escribir $t$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Paso 6.5

Combina $t$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Paso 6.7

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Paso 6.8

Combina $18$ y $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Paso 6.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.9.1

Reduce la expresión $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.9.1.1

Factoriza $2$ de $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Paso 6.9.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Paso 6.9.1.3

Cancela el factor común.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Paso 6.9.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Paso 6.9.2

Divide $9 (2 t + 9)$ por $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Paso 6.10

Reescribe $9 (2 t + 9)$ como $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

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Paso 6.10.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Paso 6.10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Paso 6.11

Retira los términos de abajo del radical.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Paso 6.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$