Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{y \frac{1}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.8

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.9

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.9.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - 1}$

Paso 1.10

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1} - V$

Paso 6.1.1.1.2

Divide la fracción $\frac{1 + V^{2}}{V - 1}$ en dos fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} - V$

Paso 6.1.1.1.3

Obtén el denominador común

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Paso 6.1.1.1.3.1

Escribe $- V$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1}$

Paso 6.1.1.1.3.2

Multiplica $\frac{- V}{1}$ por $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.3.3

Multiplica $\frac{- V}{1}$ por $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V (V - 1)}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V (V - 1)}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot V - V \cdot - 1}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.5.2

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.5.2.1

Mueve $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - (V \cdot V) - V \cdot - 1}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.5.2.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} - V \cdot - 1}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.5.3

Multiplica $- V \cdot - 1$ .

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Paso 6.1.1.1.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + 1 V}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.5.3.2

Multiplica $V$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + V}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.6

Combina los términos opuestos en $1 + V^{2} - V^{2} + V$ .

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Paso 6.1.1.1.6.1

Resta $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 0 + V}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.6.2

Suma $1$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1}$

Paso 6.1.1.1.7

Divide la fracción $\frac{1 + V}{V - 1}$ en dos fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V}{V - 1}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4

Multiplica $\frac{1 + V}{V - 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Paso 6.1.1.2.3.5

Reordena los factores en $\frac{1 + V}{(V - 1) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{x (V - 1)}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{V - 1}{1 + V}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} (\frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{1 + V}{V - 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $V - 1$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $V - 1$ de $(V - 1) x$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) (x)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $1 + V$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{V - 1}{1 + V} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V - 1}{1 + V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Reordena $1$ y $V$ .

$\int \frac{V - 1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Divide $V - 1$ por $V + 1$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$V$

$1$

$V$

$1$

Paso 6.2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $V$ por el término de mayor orden en el divisor $V$ .

					$1$
	$V$	+	$1$		$V$	-	$1$

Paso 6.2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$1$

Paso 6.2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $V + 1$ .

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$

Paso 6.2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$
					-	$2$

Paso 6.2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d V + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$V + C_{1} + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $V$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V + C_{1} - \int \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$V + C_{1} - (2 \int \frac{1}{V + 1} d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Sea $u = V + 1$ . Entonces $d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.8.1

Deja $u = V + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.8.1.1

Diferencia $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Paso 6.2.2.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $V + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.8.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$V + C_{1} - 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.10

Simplifica.

$V - 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V + 1$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \ln ({| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Paso 8.2.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Paso 8.3

Reordena $- \frac{y}{x}$ y $C$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = C - \frac{y}{x}$

Paso 8.4

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.4.1

Suma $\frac{y}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) + \frac{y}{x} = C$

Paso 8.4.2

Para escribir $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.3

Combina $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln ({(\frac{y + x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{y + x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Paso 8.4.6

Para escribir $- \ln (| x |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) \cdot \frac{x}{x} = C$

Paso 8.4.7

Combina $- \ln (| x |)$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} + \frac{- \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.9

Factoriza $- 1$ de $- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.10

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.11

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.12

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| x |) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)}{x} = C$

Paso 8.4.13

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Paso 8.4.14

Reescribe $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ como $- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ .

$\frac{- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Paso 8.4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x} = C$

Paso 8.4.16

Reordena los factores en $- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x}$ .

$- \frac{x \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) - y + x \ln (| x |)}{x} = C$