Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Paso 2.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ con respecto a $t$ es $arcsec (| t |)$ .

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $t$ y de $0$ por $v$ en $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$π + K = 0$

Paso 4.3

Resta $π$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - π$

Paso 5

Sustituye $- π$ por $K$ en $v = 3 arcsec (| t |) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- π$ por $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$