Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2} y^{4}$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3} y^{3}$ con respecto a $x$ es $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ por $M$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.4

Resta $12 y^{3} x^{2}$ de $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.5

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $2 x$ de $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $2 x$ de $- 6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x y$ de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x y$ de $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $x y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $x y$ de $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $- 3 y^{3} x - 2$ y $3 x y^{3} + 2$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{3} x$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.5.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.5.4

Reescribe $- (3 y^{3} x + 2)$ como $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.5.5

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Paso 4.3.5.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Paso 4.3.5.7

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.7

Sustituye $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $x y$ de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $x y$ de $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $x y$ de $2 x y$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $x y$ de $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $y$ de $x y (3 x y^{3} + 2)$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.7.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $\frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

Paso 8.2

Expande $x (3 x y^{3} + 2)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

Paso 8.2.2

Mueve los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

Paso 8.2.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Paso 8.2.4

Reordena $x$ y $3$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Paso 8.2.5

Reordena $x$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

Paso 8.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

Paso 8.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

Paso 8.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

Paso 8.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

Paso 8.3

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

Paso 8.4

Dado que $3 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3 y^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

Paso 8.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

Paso 8.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

Paso 8.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 8.8

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

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Paso 11.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \frac{1}{y}$ y $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x^{3} + x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.3

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x^{3}$ con respecto a $y$ es $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.5

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.6

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.8

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.9

Suma $3 x^{3} y^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.10

Combina $3$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.11

Combina $x^{3}$ y $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.12

Combina $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ y $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.13

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.14.1

Factoriza $y$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.14.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.3.14.2.5

Divide $3 x^{3} y$ por $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3

Combina los términos.

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Paso 11.5.3.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.3

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 11.5.3.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{3} y^{3}$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.5.3.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.3.2.4

Divide $x^{3} y$ por $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.3.5

Resta $x^{3} y$ de $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 11.5.4

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1

Resta $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.3.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 12.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.3

Multiplica $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Paso 12.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

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Paso 12.1.4.1

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.4.2

Suma $- 2 x^{3} y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.5

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 12.1.5.1

Factoriza $y^{2}$ de $- 2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

Paso 12.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

Paso 12.1.5.2.4

Divide $- 2 x^{3} y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

Paso 12.1.6

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

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Paso 12.1.6.1

Resta $2 x^{3} y$ de $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Paso 12.1.6.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

Paso 15.2

Factoriza $x^{2}$ de $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $y^{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

Paso 15.2.2

Multiplica por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

Paso 15.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$