Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 y + 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 y + 2}$ .

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 y + 2$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 y + 2} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 y + 2} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y + 2$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |)) = 2 (x + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 y + 2 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 (x + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y + 2 |)} = e^{2 x + 2 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | 2 y + 2 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 y + 2 = \pm e^{2 x + 2 C}$

Paso 3.5.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1$

Paso 3.5.4.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.5.4.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.4.3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 2}{2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{2 x + C} - 2}{2}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x} e^{C} - 2}{2}$

Paso 4.3

Reordena $e^{2 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{2 x} - 2}{2}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C e^{2 x} - 2}{2}$