Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x - 3 y}$

Paso 1

Sea $v = e^{3 x - 3 y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{3 x - 3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{3 x - 3 y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x - 3 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x - 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 3 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x - 3 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x - 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} \frac{d}{d x} [3 x - 3 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Paso 2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (3 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Paso 2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (3 - 3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{3 x - 3 y} (3 - 3 y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{3 x - 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (3 - 3 y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} + 1 = v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 5.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v - 1$

Paso 5.1.2

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1.2.1

Divide cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v}}{- 1} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v}}{1} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = \frac{v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = - 1 \cdot v + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot v$ como $- v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = - v + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.1.2.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = - v + 1$

Paso 5.1.3

Multiplica ambos lados por $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.4.1.1

Simplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

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Paso 5.1.4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.4.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.1.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (- v + 1) (3 v)$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Simplifica $(- v + 1) (3 v)$ .

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Paso 5.1.4.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.1.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - v (3 v) + 1 (3 v)$

Paso 5.1.4.2.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.4.2.1.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} = - 1 \cdot 3 v \cdot v + 1 (3 v)$

Paso 5.1.4.2.1.1.2.2

Multiplica $3 v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 \cdot 3 v \cdot v + 3 v$

Paso 5.1.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.2.1.2.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.2.1.2.1.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 \cdot 3 (v \cdot v) + 3 v$

Paso 5.1.4.2.1.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 \cdot 3 v^{2} + 3 v$

Paso 5.1.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} = - 3 v^{2} + 3 v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v}$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} (- 3 v^{2} + 3 v)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2} + 3 v$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v (- v) + 3 v} (- 3 v^{2} + 3 v)$

Paso 5.3.1.2

Factoriza $3 v$ de $3 v$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v (- v) + 3 v (1)} (- 3 v^{2} + 3 v)$

Paso 5.3.1.3

Factoriza $3 v$ de $3 v (- v) + 3 v (1)$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v (- v + 1)} (- 3 v^{2} + 3 v)$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{3 v (- v + 1)}$ por $- 3 v^{2} + 3 v$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 3 v^{2} + 3 v}{3 v (- v + 1)}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2} + 3 v$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v (- v) + 3 v}{3 v (- v + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $3 v$ de $3 v$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v (- v) + 3 v (1)}{3 v (- v + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $3 v$ de $3 v (- v) + 3 v (1)$ .

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v (- v + 1)}{3 v (- v + 1)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v (- v + 1)}{3 v (- v + 1)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v + 1)}{v (- v + 1)}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- v + 1)}{v (- v + 1)}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $- v + 1$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} d v = 1 d x$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- 3 v^{2} + 3 v} d v = \int d x$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2} + 3 v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $3 v$ de $- 3 v^{2}$ .

$\frac{1}{3 v (- v) + 3 v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $3 v$ de $3 v$ .

$\frac{1}{3 v (- v) + 3 v \cdot 1}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $3 v$ de $3 v (- v) + 3 v \cdot 1$ .

$\frac{1}{3 v (- v + 1)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $3 v (- v + 1)$ .

$\frac{1 (3 v (- v + 1))}{3 v (- v + 1)} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (3 v (- v + 1))}{3 v (- v + 1)} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (v (- v + 1))}{v (- v + 1)} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (- v + 1))}{v (- v + 1)} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (- v + 1)}{- v + 1} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6

Cancela el factor común de $- v + 1$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (- v + 1)}{- v + 1} = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.7.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (3 v (- v + 1))}{v} + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.1.2

Divide $A (3 (- v + 1))$ por $1$ .

$1 = A (3 (- v + 1)) + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 A (- v + 1) + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 A (- v) + 3 A \cdot 1 + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 \cdot (- 1 A v) + 3 A \cdot 1 + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 = 3 \cdot (- 1 A v) + 3 A + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 = - 3 A v + 3 A + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.7

Cancela el factor común de $- v + 1$ .

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Paso 6.2.1.1.7.7.1

Cancela el factor común.

$1 = - 3 A v + 3 A + \frac{B (3 v (- v + 1))}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.1.7.7.2

Divide $B (3 v)$ por $1$ .

$1 = - 3 A v + 3 A + B (3 v)$

Paso 6.2.1.1.7.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = - 3 A v + 3 A + 3 B v$

Paso 6.2.1.1.8

Reordena.

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Paso 6.2.1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = - 3 v A + 3 A + 3 B v$

Paso 6.2.1.1.8.2

Mueve $B$ .

$1 = - 3 v A + 3 A + 3 v B$

Paso 6.2.1.1.8.3

Mueve $3 A$ .

$1 = - 3 v A + 3 v B + 3 A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 3 A + 3 B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 3 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 3 A + 3 B$

$1 = 3 A$

$0 = - 3 A + 3 B$

$1 = 3 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 3 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$0 = - 3 A + 3 B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 3 A + 3 B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 3 A + 3 B$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{3}) + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.3.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$0 = 3 (- 1) (\frac{1}{3}) + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$0 = 3 \cdot (- 1 (\frac{1}{3})) + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$0 = - 1 + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 1 + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 1 + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = - 1 + 3 B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + 3 B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + 3 B = 0$ .

$- 1 + 3 B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.3.3

Divide cada término en $3 B = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.3.3.1

Divide cada término en $3 B = 1$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 B}{3} = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{1}{3}}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{\frac{1}{3}}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{3 v} + \frac{\frac{1}{3}}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3 v} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- v + 1}$

Paso 6.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{3 v} + \frac{1}{3 (- v + 1)}$

Paso 6.2.1.5.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{3 v} + \frac{1}{3 (- v - 1 \cdot - 1)}$

Paso 6.2.1.5.6

Factoriza $- 1$ de $- v - 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{3 v} + \frac{1}{3 (- (v - 1))}$

Paso 6.2.1.5.7

Reescribe los negativos.

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Paso 6.2.1.5.7.1

Reescribe $- (v - 1)$ como $- 1 (v - 1)$ .

$\frac{1}{3 v} + \frac{1}{3 (- 1 (v - 1))}$

Paso 6.2.1.5.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{3 v} - \frac{1}{3 (v - 1)} d v = \int d x$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int - \frac{1}{3 (v - 1)} d v = \int d x$

Paso 6.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{3 (v - 1)} d v = \int d x$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{3 (v - 1)} d v = \int d x$

Paso 6.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{3 (v - 1)} d v = \int d x$

Paso 6.2.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{v - 1} d v) = \int d x$

Paso 6.2.7

Sea $u_{2} = v - 1$ . Entonces $d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Deja $u_{2} = v - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.7.1.1

Diferencia $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Paso 6.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 6.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} \ln (| v |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| v |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Paso 7.1.1.2

Combina $\ln (| u_{2} |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{3} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} = x + C$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{3} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} = x + C$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{3} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} = x + C$ por $3$ .

$\frac{\ln (| v |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| v |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3}$ al numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 3 \cdot x + C \cdot 3$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 3 x + 3 C$

Paso 7.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 3 x + 3 C$

Paso 7.4

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{3 x + 3 C}$

Paso 7.5

Reescribe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 3 x + 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Paso 7.6

Resuelve $v$

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Paso 7.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{3 x + 3 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{3 x + 3 C}$

Paso 7.6.2

Multiplica ambos lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{3 x + 3 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.6.3.1

Cancela el factor común de $| u_{2} |$ .

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Paso 7.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{3 x + 3 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v | = e^{3 x + 3 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.4

Resuelve $v$

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Paso 7.6.4.1

Reordena los factores en $e^{3 x + 3 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{3 x + 3 C}$

Paso 7.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{3 x + 3 C}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm | u_{2} | e^{3 x + C}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{3 x + C}$ como $e^{3 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{3 x} e^{C})$

Paso 8.3

Reordena $e^{3 x}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{3 x})$

Paso 8.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C | u_{2} | e^{3 x}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{3 x - 3 y}$ .

$e^{3 x - 3 y} = C | u_{2} | e^{3 x}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 x - 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{3 x})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{3 x - 3 y})$ ; para ello, mueve $3 x - 3 y$ fuera del logaritmo.

$(3 x - 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{3 x})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(3 x - 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{3 x})$

Paso 10.2.3

Multiplica $3 x - 3 y$ por $1$ .

$3 x - 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{3 x})$

Paso 10.3

Expande el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Reescribe $\ln (C | u_{2} | e^{3 x})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{3 x})$ .

$3 x - 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{3 x})$

Paso 10.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$3 x - 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{3 x})$

Paso 10.3.3

Expande $\ln (e^{3 x})$ ; para ello, mueve $3 x$ fuera del logaritmo.

$3 x - 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 3 x \ln (e)$

Paso 10.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$3 x - 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 3 x \cdot 1$

Paso 10.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x - 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 3 x$

Paso 10.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$3 x - 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 3 x$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 3 x - 3 x$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $\ln (C | u_{2} |) + 3 x - 3 x$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$- 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $\ln (C | u_{2} |)$ y $0$ .

$- 3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Paso 10.6

Divide cada término en $- 3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 10.6.1

Divide cada término en $- 3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 3}$

Paso 10.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.6.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 10.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 3}$

Paso 10.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 3}$

Paso 10.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$