Cálculo Ejemplos

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sec (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

Paso 3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

Paso 3.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

Paso 3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

Paso 3.6

Reordena los factores en $- \cos (x) x$ .

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

Paso 4.2

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

Paso 4.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Paso 4.3.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

Paso 4.3.4

Reescribe $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ como $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ .

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $\cos (x)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Suma $x \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

Paso 5.3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

Paso 5.4

Divide cada término en $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.2

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (x \sin (x))$ como $- (x \sin (x))$ .

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

Paso 5.4.3.1.6

Divide $K$ por $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

Paso 5.5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

Paso 5.6

Reescribe la ecuación como $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ .

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Paso 5.7

Resta la inversa del arcocoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\cos (y)$ del interior del arcocoseno.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Paso 5.8

Mueve todos los términos que no contengan $\cos (y)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.8.1

Suma $x \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Paso 5.8.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Paso 5.9

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Paso 5.10

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Paso 5.11

Resta la inversa del arcocoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $\cos (y)$ del interior del arcocoseno.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Paso 5.12

Mueve todos los términos que no contengan $\cos (y)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.12.1

Suma $x \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Paso 5.12.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Paso 5.13

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$