Cálculo Ejemplos

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $15 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $15 x^{2} y^{2}$ con respecto a $y$ es $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Paso 1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 4 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Paso 2.5

Como $- 5 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y^{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Paso 5.2

Dado que $15 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $5 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y^{2} x^{3}$ con respecto a $y$ es $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{4} x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $10 x^{3} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Paso 9.1.2

Suma $4 y^{3} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $10 x^{3} y$ de $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Paso 9.1.3.2

Suma $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Paso 9.1.3.3

Reordena los factores en los términos $- 4 x y^{3}$ y $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Paso 9.1.3.4

Suma $- 4 y^{3} x$ y $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Paso 9.1.3.5

Suma $- 5 y^{4}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 5 y^{4}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Paso 10.3

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ como $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$