Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $y t^{2} - 1.1 y$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $y$ de $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $y$ de $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Paso 1.1.2

Reescribe $1.1$ como ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Paso 1.1.3

Factoriza.

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Paso 1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Paso 1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $y$ de $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Paso 1.3.2

Expande $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Paso 1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Paso 1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Paso 1.3.3

Combina los términos opuestos en $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

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Paso 1.3.3.1

Reordena los factores en los términos $t \cdot - 1.04880884$ y $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Paso 1.3.3.2

Suma $- 1.04880884 t$ y $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Paso 1.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $0$ por $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $1.04880884$ por $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Paso 1.3.5

Suma $t^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ como $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$