Cálculo Ejemplos

$\frac{d f}{d x} = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d f = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d f = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 5 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 5 x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 10 x d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 5 x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $10 x$ y $0$ .

$10 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$f + C_{1} = 5 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 5 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = 5 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{10} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5 (1)}{10} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $2$ por $f$ en $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Paso 4.2.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 2$

Paso 4.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + K = 2$

Paso 4.2.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{8}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - \frac{8}{3}$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{2 \cdot 3 - 8}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$K = \frac{6 - 8}{3}$

Paso 4.3.5.2

Resta $8$ de $6$ .

$K = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{2}{3}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{2}{3}$ por $K$ en $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{2}{3}$ por $K$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 2}{3}$