Cálculo Ejemplos

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x e^{3 y} + e^{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x e^{3 y}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 3 y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.3.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Paso 1.4

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $6 x e^{3 y}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Paso 1.5.2

Reordena los factores de $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Paso 1.5.3

Reordena los factores en $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3 e^{3 y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} e^{3 y}$ con respecto a $x$ es $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Paso 2.4

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $6 e^{3 y} x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Paso 2.5.2

Reordena los factores en $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6 x e^{3 y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 x e^{3 y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Paso 5.2

Dado que $2 e^{3 y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 e^{3 y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Paso 5.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{3 y} x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 3 y$ .

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Paso 8.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.4

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $3 x^{2} e^{3 y}$ y $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 8.6.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $3 x^{2} e^{3 y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 x^{2} e^{3 y}$ de $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $- y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 10.5

Reescribe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Paso 12.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$