Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{7}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 x + \frac{7}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x + \frac{7}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{7}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{7}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{7}{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{7}{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 7 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} + 7 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 2 x^{2} + 7 \ln (| x |) + C$