Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{12 y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $12 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 (x^{2})}{12}$

Paso 1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x^{2}}{4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{12} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{12} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (6)} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 6} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{6} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K \cdot \frac{6}{6}}$

Paso 3.4.2

Combina $2 K$ y $\frac{6}{6}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + \frac{2 K \cdot 6}{6}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 2 K \cdot 6}{6}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$ como $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6}$

Paso 3.4.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$

Paso 3.4.9

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$