Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Paso 2.3.7.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Paso 2.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 4 x + C_{5}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x + C_{6}$

Paso 2.3.9.2

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + K$