Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Paso 1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Paso 1.1.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Paso 1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Paso 1.4.3

Multiplica $x^{2} - 1$ por $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Paso 1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.1

Factoriza $y$ de $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Paso 1.4.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Paso 1.4.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Paso 4

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.2.2

Resta $3$ de $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Paso 4.3

Simplifica $1 + \ln (| 1 |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Paso 4.3.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$6 + C = 1$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - 6$

Paso 4.4.2

Resta $6$ de $1$ .

$C = - 5$

Paso 5

Sustituye $- 5$ por $C$ en $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $- 5$ por $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$