Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{4}$ de $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$