Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Paso 1

Resta $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{2 y}$ y $e^{3 x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{3 x}$ de $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.1.2.4

Divide $e^{2 y - 3 x}$ por $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $e^{3 x + 3 y}$ por $e^{2 y - 3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.2.2.2

Suma $3 y + 2 y$ y $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.2.3

Suma $3 y$ y $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{3 y}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $e^{3 y}$ de $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Paso 3.4.2.4

Divide $e^{2 x - 3 y}$ por $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Paso 3.5

Multiplica $e^{3 x + 3 y}$ por $e^{2 x - 3 y}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1

Mueve $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Paso 3.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Paso 3.5.3

Combina los términos opuestos en $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

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Paso 3.5.3.1

Suma $- 3 y$ y $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Paso 3.5.3.2

Suma $2 x + 3 x$ y $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Paso 3.5.4

Suma $2 x$ y $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 5 y$ . Entonces $d u_{1} = 5 d y$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 5 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Paso 4.2.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 5 x$ . Entonces $d u_{2} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.3.2.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $e^{5 x}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Paso 5.2.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{5 x}}{5}$ al numerador.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Paso 5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Paso 5.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Paso 5.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Paso 5.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Expande $\ln (e^{5 y})$ ; para ello, mueve $5 y$ fuera del logaritmo.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Paso 5.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Paso 5.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Paso 5.5

Divide cada término en $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$