Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Paso 2.3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $15$ por $y$ en $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Paso 4.2.1.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = 15$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 15$

Paso 5

Sustituye $15$ por $K$ en $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $15$ por $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$