Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$ , $P (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ .

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $P^{2} - 7 P + 12$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $P^{2} - 7 P + 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 2.2.1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

Paso 2.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{P - 4}$

Paso 2.2.1.1.3

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(P - 4) (P - 3)$ .

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $P - 4$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.6

Cancela el factor común de $P - 3$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.7.1

Cancela el factor común de $P - 4$ .

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Paso 2.2.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7.1.2

Divide $(A) (P - 3)$ por $1$ .

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7.4

Cancela el factor común de $P - 3$ .

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Paso 2.2.1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Paso 2.2.1.1.7.4.2

Divide $(B) (P - 4)$ por $1$ .

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

Paso 2.2.1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

Paso 2.2.1.1.7.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

Paso 2.2.1.1.8

Mueve $- 3 A$ .

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $P$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $P$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 3 A - 4 B$

Paso 2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

Paso 2.2.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Paso 2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 3 A - 4 B$ por $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- B) - 4 B$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.2

Resta $4 B$ de $3 B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Paso 2.2.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 2.2.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Paso 2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 1$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

Paso 2.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Paso 2.2.3

Sea $u_{1} = P - 4$ . Entonces $d u_{1} = d P$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u_{1} = P - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d P}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $P - 4$ .

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

Paso 2.2.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $P - 4$ con respecto a $P$ es $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

Paso 2.2.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ es $n P^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

Paso 2.2.3.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $P$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $P$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Paso 2.2.6

Sea $u_{2} = P - 3$ . Entonces $d u_{2} = d P$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.6.1

Deja $u_{2} = P - 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d P}$ .

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Paso 2.2.6.1.1

Diferencia $P - 3$ .

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

Paso 2.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $P - 3$ con respecto a $P$ es $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

Paso 2.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ es $n P^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

Paso 2.2.6.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $P$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $P$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 2.2.7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Paso 2.2.8

Simplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $P - 4$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.2.10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $P - 3$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

Paso 3

Resuelve $P$

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Paso 3.1

Para resolver $P$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

Paso 3.3

Resuelve $P$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

Paso 3.3.2

Multiplica ambos lados por $| P - 3 |$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $| P - 3 |$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Paso 3.3.4

Resuelve $P$

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Paso 3.3.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

Paso 3.3.4.2

Divide cada término en $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ por $e^{t + C}$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.2.1

Divide cada término en $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ por $e^{t + C}$ .

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Paso 3.3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{t + C}$ .

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Paso 3.3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Paso 3.3.4.2.2.1.2

Divide $| P - 3 |$ por $1$ .

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Paso 3.3.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Paso 3.3.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Paso 3.3.4.5

Resuelve $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ en $P$ .

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Paso 3.3.4.5.1

Multiplica ambos lados por $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.5.2

Simplifica.

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Paso 3.3.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.5.2.1.1

Simplifica $(P - 3) e^{t + C}$ .

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Paso 3.3.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.5.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.3.4.5.2.1.1.2.1

Reordena $t$ y $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.5.2.1.1.2.2

Reordena $t$ y $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{t + C}$ .

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Paso 3.3.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

Paso 3.3.4.5.3

Resuelve $P$

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Paso 3.3.4.5.3.1

Resta $P$ de ambos lados de la ecuación.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

Paso 3.3.4.5.3.2

Suma $3 e^{C + t}$ a ambos lados de la ecuación.

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.5.3.3

Factoriza $P$ de $P e^{C + t} - P$ .

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Paso 3.3.4.5.3.3.1

Factoriza $P$ de $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.5.3.3.2

Factoriza $P$ de $- P$ .

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.5.3.3.3

Factoriza $P$ de $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ .

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.5.3.4

Divide cada término en $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} - 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.5.3.4.1

Divide cada término en $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} - 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{C + t} - 1$ .

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Paso 3.3.4.5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.5.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.3.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $3 e^{C + t}$ .

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ .

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.5.3.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Paso 3.3.4.6

Resuelve $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ en $P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.1

Multiplica ambos lados por $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.1.1

Simplifica $(P - 3) e^{t + C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.1.1.2.1

Reordena $t$ y $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2.1.1.2.2

Reordena $t$ y $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.2.1

Simplifica $- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.2.1.1

Cancela el factor común de $e^{t + C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ al numerador.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Paso 3.3.4.6.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

Paso 3.3.4.6.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

Paso 3.3.4.6.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

Paso 3.3.4.6.3

Resuelve $P$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.3.1

Suma $P$ a ambos lados de la ecuación.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

Paso 3.3.4.6.3.2

Suma $3 e^{C + t}$ a ambos lados de la ecuación.

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.6.3.3

Factoriza $P$ de $P e^{C + t} + P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.3.3.1

Factoriza $P$ de $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.6.3.3.2

Eleva $P$ a la potencia de $1$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.6.3.3.3

Factoriza $P$ de $P^{1}$ .

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.6.3.3.4

Factoriza $P$ de $P e^{C + t} + P \cdot 1$ .

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

Paso 3.3.4.6.3.4

Divide cada término en $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} + 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.6.3.4.1

Divide cada término en $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} + 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 3.3.4.6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{C + t} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.6.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 3.3.4.6.3.4.2.1.2

Divide $P$ por $1$ .

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 3.3.4.6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.6.3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 3.3.4.7

Enumera todas las soluciones.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.3

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.5

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.6

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.7

Reordena los términos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.8

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.9

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

Paso 4.10

Reordena los términos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

Paso 4.11

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

Paso 4.12

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

Paso 5

Como $P$ es positiva en la condición inicial $(0, 1)$ , solo considera $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ para obtener $C$ . Sustituye $0$ por $t$ y $1$ por $P$ .

$1 = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $e^{C} e^{0} - 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Simplifica $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1)$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común de $e^{C} e^{0} - 1$ .

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Paso 6.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1}$ al numerador.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- (4 - 3 e^{C} e^{0}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.2

Multiplica $e^{C}$ por $e^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Mueve $e^{0}$ .

$- (4 - 3 (e^{0} e^{C})) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (4 - 3 e^{0 + C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.2.3

Suma $0$ y $C$ .

$- (4 - 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.4

Multiplica.

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Paso 6.3.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.1.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $1 (e^{C} e^{0} - 1)$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $e^{C} e^{0} - 1$ por $1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} e^{0} - 1$

Paso 6.3.2.1.2

Multiplica $e^{C}$ por $e^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C + 0} - 1$

Paso 6.3.2.1.2.2

Suma $C$ y $0$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} - 1$

Paso 6.4

Resuelve $C$

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Paso 6.4.1

Mueve todos los términos que contengan $C$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.4.1.1

Resta $e^{C}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 + 3 e^{C} - e^{C} = - 1$

Paso 6.4.1.2

Resta $e^{C}$ de $3 e^{C}$ .

$- 4 + 2 e^{C} = - 1$

Paso 6.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 e^{C} = - 1 + 4$

Paso 6.4.2.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$2 e^{C} = 3$

Paso 6.4.3

Divide cada término en $2 e^{C} = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.3.1

Divide cada término en $2 e^{C} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 6.4.3.2.1.2

Divide $e^{C}$ por $1$ .

$e^{C} = \frac{3}{2}$

Paso 6.4.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{C}) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 6.4.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.4.5.1

Expande $\ln (e^{C})$ ; para ello, mueve $C$ fuera del logaritmo.

$C \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 6.4.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 6.4.5.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$C = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 7

Sustituye $\ln (\frac{3}{2})$ por $C$ en $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $\ln (\frac{3}{2})$ por $C$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Paso 7.2

Multiplica $e^{\ln (\frac{3}{2})}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $e^{t}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{\ln (\frac{3}{2})})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2}) + t} - 1}$