Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Suma $2 t y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 2 t$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 t d t}$

Paso 2.2

Integra $2 t$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int t d t}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 t^{2} + C}$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{t^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{t^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $e^{t^{2}}$ por $e^{- t^{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $- t^{2}$ y $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Paso 3.5

Simplifica $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Paso 3.6

Reordena los factores en $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ por $e^{t^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ por $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{t^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $3$ por $y$ en $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Paso 10.2

Simplifica $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

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Paso 10.2.1

Combina fracciones.

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Paso 10.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Paso 10.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Paso 10.2.1.2.2

Suma $0$ y $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Paso 10.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Paso 10.2.3

Divide $C$ por $1$ .

$C = 3$

Paso 11

Sustituye $3$ por $C$ en $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$