Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ y $y (3) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (4 x - 7) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ .

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$18 - 21 + K = 0$

Paso 4.2.2

Resta $21$ de $18$ .

$- 3 + K = 0$

Paso 4.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 3$

Paso 5

Sustituye $3$ por $K$ en $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3$ por $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$