Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = - x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(4, 3)$ , solo considera $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ para obtener $K$ . Sustituye $4$ por $x$ y $3$ por $y$ .

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ .

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- 4^{2} + K}$ como ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica.

$- 16 + K = 3^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 16 + K = 9$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 9 + 16$

Paso 6.4.2

Suma $9$ y $16$ .

$K = 25$

Paso 7

Sustituye $25$ por $K$ en $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $25$ por $K$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

Paso 7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

Paso 7.3

Reordena $- x^{2}$ y $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Paso 7.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$