Cálculo Ejemplos

$\frac{d P}{d t} = k \cdot P$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (k \cdot P)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $P$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $P$ de $k \cdot P$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P \cdot k)$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P \cdot k)$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = k$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{P} d P = k d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{P} d P = \int k d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{P}$ con respecto a $P$ es $\ln (| P |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} = \int k d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| P |) + C_{1} = k t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| P |) = k t + C$

Paso 3

Resuelve $P$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para resolver $P$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| P |)} = e^{k t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| P |) = k t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{k t + C} = | P |$

Paso 3.3

Resuelve $P$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| P | = e^{k t + C}$ .

$| P | = e^{k t + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$P = \pm e^{k t + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{k t + C}$ como $e^{k t} e^{C}$ .

$P = \pm e^{k t} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{k t}$ y $e^{C}$ .

$P = \pm e^{C} e^{k t}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$P = C e^{k t}$