Cálculo Ejemplos

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ por $x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{3}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Paso 1.4.3.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Paso 1.4.3.3

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Paso 1.4.3.4

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 3.3

Simplifica $- 6 \ln (| x |)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Paso 3.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{6}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(2, 1)$ , solo considera $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ para obtener $C$ . Sustituye $2$ por $x$ y $1$ por $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ como ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \ln (64) + C = 1$

Paso 6.4

Suma $\ln (64)$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 1 + \ln (64)$

Paso 7

Sustituye $1 + \ln (64)$ por $C$ en $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1 + \ln (64)$ por $C$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$