Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 4 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 4 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 2.3.1.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.2.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 2.3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + K$