Cálculo Ejemplos

$7 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ por $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ por $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2.3

Cancela el factor común de $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Paso 1.1.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.3.3.1

Multiplica $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1.1.2.3.3.2

Mueve $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Paso 1.1.2.3.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Paso 1.1.2.3.3.4

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Paso 1.1.2.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Paso 1.1.2.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.3.7

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1.2.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.2.3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.2.3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 1.1.2.3.3.7.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (x^{2} + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combinar.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1) y}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y$ de $8 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1)}$

Paso 1.4.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{7}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{7}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{2 \cdot 8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Simplifica.

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Paso 2.3.5.3.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3.2

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.3.2.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.5.3.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.4.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.5.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{7}{16}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{14}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3

Cancela el factor común de $14$ y $16$ .

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Paso 2.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (7)}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$