Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 5 x + 1$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 5 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Paso 2.3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $- 2$ por $y$ en $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Paso 4.2.2

Suma $15$ y $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Paso 4.2.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Paso 4.2.6

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Paso 4.2.7

Multiplica $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

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Paso 4.2.7.1

Combina $\frac{2}{15}$ y $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Paso 4.2.7.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{128}{15}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Paso 4.3.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Paso 4.3.3

Combina $- 2$ y $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 2$ por $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Paso 4.3.5.2

Resta $128$ de $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Paso 4.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$K = - \frac{158}{15}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{158}{15}$ por $K$ en $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{158}{15}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Paso 5.2

Combina $\frac{2}{15}$ y ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Paso 5.4

Factoriza $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Paso 5.4.2

Factoriza $2$ de $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Paso 5.4.3

Factoriza $2$ de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$