Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} - x = 10$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Divide $10$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{x}{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (5 + \frac{x}{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{4} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + K$