Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Paso 1.4

Resta $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 y = - y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- x y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $- 2 y - - y$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Paso 4.3.2.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{- x}$

Paso 4.3.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ por el factor integrador $x$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x^{2} - y^{2}$ por $x$ .

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Paso 6.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Paso 6.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $- x y$ por $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - x^{2} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $y^{2}$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Paso 8.3.3

Simplifica.

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Paso 8.3.3.1

Reordena los términos.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Paso 8.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Paso 8.3.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.3

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.7

Combina $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.8

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.3.8.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.3.8.2.4

Divide $- y^{2} x$ por $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Suma $y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

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Paso 12.1.2.1

Suma $- y^{2} x$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 15.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$