Cálculo Ejemplos

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y \ln (\frac{x}{y})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.8

Combina $\frac{y}{x}$ y $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.10

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.13

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.14

Simplifica los términos.

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Paso 2.14.1

Combina $x$ y $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.14.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.14.3

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.16

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.16.1

Mueve $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.16.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.17

Simplifica $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Paso 2.19

Multiplica $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Paso 2.20

Simplifica.

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Paso 2.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 2.20.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2.3.2

Multiplica $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.2.5

Suma $0$ y $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 5.3.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y}$

Paso 5.3.5

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

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Paso 5.3.5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Paso 5.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 6.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $y$ de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Paso 7.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Paso 7.4

Reescribe $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ como $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x$ por $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 7.6

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Paso 9.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Paso 9.3

Simplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 12

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1.1

Reescribe.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Paso 13.1.2

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 13.1.2.1

Resta $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Paso 13.1.2.2

Reescribe.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Paso 13.1.3

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Paso 13.1.3.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Paso 13.1.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Paso 13.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y \ln (\frac{x}{y})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Paso 13.1.3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 13.1.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.7

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.8

Combina $\frac{y}{x}$ y $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.10

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.13

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.14

Simplifica los términos.

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Paso 13.1.3.14.1

Combina $x$ y $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.14.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.1.3.14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.14.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.14.3

Reescribe $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.16

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.3.16.1

Mueve $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.16.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.17

Simplifica $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Paso 13.1.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Paso 13.1.3.19

Multiplica $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Paso 13.1.3.20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.3.20.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.4

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 13.1.4.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 13.1.5

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 13.1.5.1

Sustituye $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Paso 13.1.5.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ no es una identidad.

Paso 13.1.6

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 13.1.6.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 13.1.6.2

Sustituye $1 - \ln (\frac{x}{y})$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Paso 13.1.6.3

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

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Paso 13.1.6.3.1

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.6.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2.3

Multiplica $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Paso 13.1.6.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2.3.2

Multiplica $\ln (\frac{x}{y})$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.2.5

Suma $0$ y $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Paso 13.1.6.3.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Paso 13.1.6.3.4

Cancela el factor común de $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Paso 13.1.6.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Paso 13.1.6.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y}$

Paso 13.1.6.3.5

Sustituye $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $M$ .

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Paso 13.1.6.3.5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Paso 13.1.6.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y}$

Paso 13.1.6.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 13.1.7

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 13.1.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 13.1.7.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 13.1.7.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 13.1.7.4

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.7.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 13.1.7.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 13.1.7.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 13.1.8

Multiplica ambos lados de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 13.1.8.1

Multiplica $- y (\ln (x) - \ln (y))$ por $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 13.1.8.2.1

Factoriza $y$ de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.4

Reescribe $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ como $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Paso 13.1.8.5

Multiplica $x$ por $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 13.1.8.6

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Paso 13.1.9

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Paso 13.1.10

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 13.1.10.1

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Paso 13.1.10.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Paso 13.1.10.3

Simplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Paso 13.1.11

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Paso 13.1.12

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.1.13.1

Simplifica $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

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Paso 13.1.13.1.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 13.1.13.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.3

Factoriza $x$ de $x \ln (| y |) + g x$ .

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Paso 13.1.13.1.3.1

Factoriza $x$ de $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.3.2

Factoriza $x$ de $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.3.3

Factoriza $x$ de $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.1.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.13.1.4.2

Divide $\ln (| y |) + g$ por $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Paso 13.1.14

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Paso 13.1.15

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Paso 13.1.16

Combina $| y |$ y $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Paso 13.1.17

Reordena los factores en $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- g$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Paso 14.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - g x + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$