Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Paso 1.1.2

Resta $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $y$ de $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = (x + 3) (x - 3)$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = (x + 3) (x - 3)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3.4.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.2.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.3.2.1.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Paso 2.3.2.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.2.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.3.8.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Paso 2.3.2.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Paso 2.3.2.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.3.2.1.3.8.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1

Combina $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 3.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 3.3.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.4

Para escribir $\ln (| y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.1

Combina $\ln (| y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Paso 3.7.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.7.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.7.1.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Paso 3.7.1.2

Reescribe $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Paso 3.7.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7.1.4

Aplica la regla del producto a $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7.1.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.7.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.7.1.6

Simplifica.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 3.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Paso 3.9

Reescribe $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.10

Resuelve $y$

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Paso 3.10.1

Reescribe la ecuación como $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Paso 3.10.2

Divide cada término en $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 3.10.2.1

Divide cada término en $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.10.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.10.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$