Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 5 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 5 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 5 x d x}$

Paso 1.2

Integra $5 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{5 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

Paso 1.4

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Paso 6.2

Sea $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

Paso 6.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Paso 6.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Paso 6.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia.

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Paso 6.2.1.3.1

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6.2.1.3.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6.2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Paso 6.2.1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

Paso 6.2.1.3.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

Paso 6.2.1.3.4.3

Combina $\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 6.2.1.3.4.4

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 6.2.1.3.4.4.1

Factoriza $2$ de $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Paso 6.2.1.3.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1.3.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Paso 6.2.1.3.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2.1.3.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

Paso 6.2.1.3.4.4.2.4

Divide $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Paso 6.2.1.3.4.5

Reordena los factores en $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

Paso 6.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.1

Reescribe $5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

Paso 6.4.2

Simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Paso 6.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 1 u_{2} + C$

Paso 6.4.2.3

Multiplica $u_{2}$ por $1$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = u_{2} + C$

Paso 6.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

Paso 6.4.4

Reordena los términos.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ y $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ de $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Divide $e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ .

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Paso 7.3.1.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.2.3

Resta $5$ de $5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $0$ .

$y = e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.4

Divide $0$ por $2$ .

$y = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Paso 7.3.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y = 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$